Оба этих понятия – сочетание и размещение – относятся к науке комбинаторике. Это раздел математики, созданный учеными Б. Паскалем и П. Ферма в процессе исследования теории карточных игр. Комбинаторика используется в решении задач особенного рода: когда требуется вычислить количество потенциальных вариантов для какой-либо ситуации. Примером может служить подсчет возможных позиций на шахматной доске после первого хода «черных» и «белых».
О сочетании и размещении говорят, когда из множества необходимо выбрать какое-либо подмножество. Понятия эти весьма близки по своему смыслу, поэтому так трудно бывает понять разницу между ними. Но она существует (причем принципиальная!). Ниже об этом достаточно простым языком написано в статье.
Сочетания
Сочетание – это подмножество, состоящее из К элементов, выбранных из множества, включающего в себя N элементов. При этом выполняется такое условие: N > К.
Важный момент: порядок расположения в данной выборке никакого значение не имеет. То есть комбинации, отличающиеся порядком размещения элементов, но не составом, считаются одинаковыми сочетаниями.
Образно проиллюстрировать понятие можно на примере лотереи. Предположим, человеку предлагается угадать 3 выпавшие цифры из 15-ти. Он выбрал следующий набор – 1, 6, 10. И уже не важно, в каком порядке они выпадут: 1, 6, 10; 1, 10, 6; 10, 1, 6; 10, 6, 1; 6, 10, 1; 6, 1, 10. Главное – состав комбинации. Если он совпадает с загаданным накануне набором цифр, игрок считается победителем.
Сочетания обозначаются следующим образом: СКN. Где N – количество элементов в множестве, а К – количество объектов в производимой выборке. Для нашего примера N = 15, а К = 3.
Существует формула для определения числа возможных сочетаний в множестве. Выглядит она так: N!/((N-K)!*K!) подставим цифры из нашего примера:
15!/(15-3)!*3! = 455
Это означает, что из 15 чисел можно составить 455 различных комбинаций, включающих в себя три разных числа.
Такие подсчеты в нашем примере позволяют определить велики ли шансы субъекта на выигрыш.
Читайте также: как узнать, в одном гигабайте сколько мегабайт
Размещения
В самом названии этого термина присутствует корень, позволяющий понять его суть. Размещение – тоже подмножество, выбранное из первоначального множества. Но здесь уже существенное значение имеет место расположения элемента в комбинации. То есть если сочетания могут различаться только составом объектов, то размещения разнятся и составом, и порядком следования элементов.
Получается, что количество размещений всегда превосходит число сочетаний, при условии выборки из одного и того же множества.
Это легко проследить, если сделать выборку трех элементов из множества, состоящего всего из 4 объектов (от 1-го до 4-х).
Сочетаний здесь будет всего 4 (это легко проверить и по приведенной выше формуле):
123, 234, 134, 241
Размещений же окажется гораздо больше:
123, 132, 321, 312, 231, 213, 234, 243, 324, 342 и т.д.
Существует формула, позволяющая подсчитать возможное количество размещений в представленном множестве:
N!/(N – К)!
Для нашего примера посчитаем количество потенциальных размещений:
4!/(4-3)! = 24
Получается, что для состоящего из 4-х элементов множества существует 4 сочетания и целых 24 размещения.
Для тех, кто увлекается спортивными ставками, эти знания могут пригодится для того, чтобы рассчитать шансы на выигрыш.
Например, в турнире участвует 6 команд. Необходимо определить количество возможных комбинаций троек призеров кубка.
Обозначим названия команд буквами: А, Б, В, Г, Д, Е.
Сначала определим команду, которая станет золотым призером чемпионата. Таких вариантов, очевидно, 6: А, Б, В, Г, Д, Е.
Затем выбираем один из вариантов (пусть это будет комбинация, в которой золото принадлежит команде А), и определяем для него потенциального серебряного призера. Таких комбинаций уже окажется всего 5, так как одна команда уже записана на 1-м месте: АБ, АВ, АГ, АД, АЕ.
Такую пятерку вариаций можно сформировать для каждой из команд. То есть всего претендентов на серебро оказывается 30 (5*6).
Для каждой двойки первых призеров (чемпион-серебряный призер) можно составить только 4 комбинации с бронзовым призером. Первые два места уже распределены, так что остается 4 команды (6-2). Подберем комбинации для варианта АБ: АБВ, АБГ, АБД, АБЕ.
Мы уже подсчитали выше количество возможных комбинаций для первых двух мест – их оказалось 30. Теперь это число умножаем на 4 – получаем 120.
Выходит, что если в турнире участвует 6 команд, вариантов их размещения по первым трем местам может быть целых 120. Угадать призеров не так просто.
Читайте также: золотой век, это какой период? Чем он отличается от серебряного?
Сочетания и размещения: в чем же разница?
И сочетания, и размещения являются выборкой из определённого множества. Принципиальная разница между понятиями заключается лишь в том, что в случае сочетаний порядок расположения элементов не имеет значения, а в случае размещений он важен. Именно поэтому в пределах одного и того же множества количество сочетаний всегда оказывается меньше числа размещений.
Читайте также: ваты и вольты – что это такое, в чем их различия
